점함수와 경로함수

--

점함수와 경로함수

점함수(point function)와 경로함수(path function), 또는 완전 미분량과 불완전 미분량의 차이를 구분해 두는 것이 좋다.

결론부터 말하자면

열역학적 상태량은 점함수이고, 일은 경로함수이다. 

윗 문장을 이해했다면 아래 글을 읽을 필요가 없을 것이다.

우선, 

점함수와 경로함수가 무엇인지 살펴보자.

1. 점 함수 (Point Function), 상태 함수(변수) (State Function) 

경로에 의존하지 않고, 특정한 지점에서의 상태만 고려한다. 

그림을 가지고 설명하면, A 경로이든 B 경로이든 상관없이 점 1과 점 2의 상태만 고려한다는 뜻이다.  

온도, 부피, 압력, 내부에너지, 엔트로피 등 상태량같은

경로에 관계없이, 계의 상태 만으로 정해지는 물리량/함수/변수을 논할 때 쓰인다. 

점함수의 미분량은 완전 미분(d; exact functions)으로 표시한다.  

2. 경로 함수(변수) (Path Function)

점 함수와 다르게

경로에 따라 달라지는 물리량/함수/변수를 말한다. 

예를 들어, 열(heat), 일(work)가 경로 함수이다.

열 및 일은 방향성을 갖는 물리량이며, 과정에 따라 달라지므로 상태량이 아니다. 

경로함수의 미분 표기는 불완전 미분(δ; inexact functions)으로 표시한다. 

자, 그럼 그림을 다시 살펴보자.

상태 1에서 상태 2가 있다. 상태 1에서 상태 2로 진행하는 과정은 A, B, C 등 더 많은 과정이 있을 수 있다. 

(각 선으로 표시된 과정은 준평형과정이라고 가정)

각각 다른 곡선 아래의 면적은 각 과정에서의 일을 나타내므로 모든 과정에서 가해진 일의 양은 처음과 최종 상태뿐 아니라 중간에 지나가는 경로에 따라서도 달라지는 것이다. 이런 이유로 일을 경로함수라 부르고, 수학적으로는 불완전 미분량임을 의미한다. 반면, 열역학적 상태량은 점함수이다. 

P-V선도나 몰리엘 선도 같은 곡면 위에 점이 주어지면 상태가 결정되고 따라서 이 점에 해당하는 모든 상태량이 확정되므로 열역학적 상태량은 점함수라 할 수 있다. 점함수의 미분량은 완전 미분량이다. 

--

__

2015. 01. 13 작성