자코비안 표기법 Jacobian method (열역학)

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Jacobian 법 (열역학)

Jacobian 법을 이용하면, 편도함수는 {P, V, T} 중 원하는 원하는 임의의 독립변수를 이용해 측정가능한 성질(properties)의 도함수로 변환시킬 수 있다. 

Joule-Thomson 계수는 일정 엔탈피(H)에서 압력 변화에 따른 온도의 변화를 나타내는 도함수이다. 

이를 Jacobian 표기법으로 표현하면 다음과 같다. 

  

분자와 분모가 공통 변수를 가지면, Jacobian 표기법에서 간단하게 표현된다.  

 

약간 일반화 시켜 편미분의 행렬값으로 나타낼 수도 있다. 

앞서, Jacobian 표기법을 살펴보면 알 수 있듯, 

미분기호 괄호 안의 두번째 변수는 일정한 값을 나타내기 때문에, 분모와 분자가 같은 일정한 값을 가지면 간단히 표현히 가능한 것이다. 

이를 좀 더 풀어 쓰면, 

왜냐하면,  이고,  일정한 H에 대한 미분값은 0이기 때문이다. 

좀 더 일반화 하면 다음과 같이 표현 가능하다 

Jacobian 표기법에는 몇가지 편리한 규칙이 있는데, 다음과 같다. 

1. [Antisymmetry] 분자나 분모의 변수 순서가 바뀌면 Jacobian의 부호도 바뀐다. 

만약, 분자와 분모에 있는 변수의 순서가 동시에 바뀌면 부호가 상쇄되어 부호가 변화지 않는다. 

2. [Multiplication] 추가적인 변수를 도입하면, Jacobian 가운데 하나의 역을 취하는 것이 편함 

3. Jacobian의 역(inverse)은 다음과 같다. 

4. Jacobian 표기법으로 2개 이상 변수에 대해서도 다룰 수 있다는 장점이 있음

자세한 사항은 아래 참고자료를 살펴보면 됨  

ex 1)   를 T와 P를 독립변수로 하는 도함수로 변환하라. 

답.

ex 2) 를 T와 P를 독립변수로 하는 도함수로 변환하라. 

답.

위 식에서, 아래 Maxwell 관계식이 사용되었다.  

따라서, 단열압축률 는 위 식을 활용해 다시 쓸 수 있다. 

참고자료

화공열역학 Introductory chemical engineering thermodynamics, 강춘형 외 5인 

carroll1965.pdf

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2019. 12. 15 작성