세상을 바꾼 17가지 공식들

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세상을 바꾼 17가지 공식들

영국의 수학자 Ian Stewart 가 꼽은 공식들이라고 합니다.

1. 피타고라스 정리 Pythagora's Theorem 

직각삼각형의 세 변에 관한 정리.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.

피타고라스 정리 더 보기(위키피디아)

^[각주:1]

2. 로그 longarithm 

복잡한 단위의 수를 나타내기 위해 사용, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇번 곱해야 하는지 나타내는 함수

^[각주:2]

로그 더 보기(위키피디아)

3. 미분 Calculus

함수의 순간변화율로 국소적 변화를 나타낸다. 주로 함수의 기울기를 나타냄.

미분의 반대적 개념은 적분인데, 적분은 국소적 양의 집적을 나타낸다.  

4. 중력 Law of Gravity

 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는 힘이다. 중력의 수학적 발견

^[각주:3]

5. 허수 The square root of minus one, imaginary number

필요에 의해서 만들어진 수, 제곱해서 음수가 되는 수. 

공학에서는 실측되지않는 vector factor를 표현할때 자주 사용

복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며, 

a를 실수로, b를 허수부라고 한다.

한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 x + y i 로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 극좌표를 사용하여 원점에서 부터 점 Z 사이의 반지름과 각도로서도 나타낼 수 있다.

^[각주:4]

6. 오일러 다면체 공식 Euler's Formula for Polyhedra

 한붓그리기 관련된 가능/불가능을 기술한 수식

^[각주:5]

V는 다면체의 꼭지점 개수, E는 다면체의 모서리의 개수, F는 다면체의 면의 개수

임의의 한 다면체를 구성하는 점과 선, 면이 가지는 관계를 설명한 정리를 말한다. 점의 개수에서 선의 개수를 뺀 값에 면의 개수를 더할 경우에 나오는 값이 일정하다는 정리이며, 흔히 다음의 공식으로 표현된다.

7. 정규분포 Normal Distribution

기본적인 확률 모형. 가우스 분포(Gaussian distribution)이라고 불리며 연속 확률 분포의 하나이다. 

여기서, 매개변수는 σ는 표준편차, μ는 평균. 

이 식을 -∞에서 ∞까지 정적분하면 1이다. 

^[각주:6]

정규분포는 2개의 매개 변수 평균  μ와 표준편차 σ에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 N(μ ,σ^2)로 표기한다. 

특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 N(0, 1)을 표준정규분포라고 한다. (그래프에서 빨간색 선)

정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.

8. 파동방정식 Wave equation

일반적인 파동을 다루는 선형 쌍곡 편미분 방정식 u(x,t) 이다.

여기서 파동의 속도 c, 시각 t. 파동의 종류에 따라 u는 스칼라 또는 벡터일 수 있다.

는 위치 x에 대한 라플라스 연산자이다.

x축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우,

^[각주:7]

2차원에선 다음과 같다.

^[각주:8]

기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 

또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다.

9. 푸리에 변환 Fourier Transform

한 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 선형 변환이다. 

편미분 방정식 해법으로 많이 쓰임. 보통 주파수관련하여 매우 유용

여기서, 시간 t, 주파수 

^[각주:9]

^[각주:10]

10. 나비에-스토크스방정식 Navier-Stokes equation

점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. NS방정식, 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 

물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙이 유체역학의 지배방정식이 나비에-스톡스 방정식이다. 

여기서, u는 유체의 속도, f는 외부 체적력(주로 중력가속도), ρ는 밀도, p는 압력, μ는 점성계수를 나타낸다.

물질도함수(D/Dt)로 나타내면 다음과 같다. 

방정식은 뉴턴의 운동방정식(a = F/m)에 기반하고 있고, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타낸다.

여기에는 3가지 가정이 필요하다

이 방정식은 밀레니엄 문제중 하나로 풀기 어려운 이유는 

위의 방정식의 좌변 두 번째 항(convective term)이 비선형이어 해를 구하기 어렵기 때문이다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형으로 변한다.

비선형 편미분방정식은 우리가 구하는 해가 단 하나의 해만 존재하는 것이 아니기 때문이다. 

유체의 운동을 나타내는 비선형편미분 방정식, 날씨나 해류의 움직임등을 관찰할때 쓰임 (정확한 해는 아님, 근사치)

11. 맥스웰 방정식 Maxwell's equations 

전자기파의 기본 특성에 대한 기술. 

전기와 자기의 발생, 전기장과 자기장, 전하 밀도와 전류 밀도의 형성을 나타내는 4개의 편미분 방정식이며, 수학적으로 정리 되지 않은 전자기특성을 맥스웰이 4개의 방정식으로 통합.

맥스웰 방정식은 벡터 해석학적으로 미분형과 적분형으로 표현할 수 있다.

미분형 

전기장에 대한 가우스의 법칙 :

자기장에 대한 가우스의 법칙 :

페러데이의 법칙 : 

앙페르 법칙 :

적분형 

전기장에 대한 가우스의 법칙 :

자기장에 대한 가우스의 법칙 :

페러데이의 법칙 : 

앙페르 법칙 :

^[각주:11]

맥스웰 방정식 더 보기

1. 전파거북이 님 블로그

2. 네이버캐스트

3. cbr399 님 블로그

12. 열역학 2법칙 Second law of thermodynamics

열적으로 고립된 계의 총 엔트로피가 감소하지 않는다는 법칙이다. 엔트로피는 무질서한 정도를 나타낸다고 이해하면 편하다.

여기서, 엔트로피 S, 열량 Q, 온도 T.

엔트로피가 증가하지 않는 이상적인 과정을 가역과정이라고 한다. 보통 엔트로피는 과정 중에서 증가하므로 비가역과정이다. 

Kevin-Plank statement 켈빈-플랑크 진술 

계가 고온 열저장고에서 열을 흡수하여 저온 열저장고로 열을 방출하지 않고 완전히 역학적 일로 바꾸는 과정은 불가능하다.

It is impossible for any device that operates on a cycle to receive heat from a single reservoir and produce a net amount of work.

즉, 열효율이 100%인 열엔진heat engine은 있을 수 없다는 뜻이다. 

클라우지우스 진술

아무런 일을 하지 않고 저온 열저장고에서 고온 열저장고로 열에너지를 전달하는 과정은 불가능 하다.

Heat can never pass from a colder to a warmer body without some other change, connected therewith, occurring at the same time.

즉, 열매체를 저온 상태에서 고온 상태로 만들기 위해서는 외부에서 일work이 꼭 필요하다는 뜻이다. 

13. 상대성이론 Relativity 

시간과 공간에 대한 물리 이론으로, 상대성이론은 특수상대성이론과 일반상대성이론으로 구분된다. 

이 식은 원자핵 폭탄과 원자력 발전의 이론적 기초가 되었고, 태양과 같은 별들이 어떻게 많은 에너지를 계속 낼 수 있는지를 설명할 수 있게 해 주었다. 이 식으로 인해 우리는 이제 에너지와 물질을 예전과는 다른 방법으로 이해하게 되었다.

상대성이론 더보기

1. 네이버캐스트 

14. 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger equation

미시적 세계에 대한 해석, 물질의 존재 형태는 파동임

비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 1차 선형 편미분 방정식이다. 

슈뢰딩거 방정식 더보기

1. 네이버캐스트

15. 정보 이론 information theory

최대한 많은 데이터를 매체에 저장하거나 채널을 통해 통신하기 위해 데이터를 정량화하는 응용 수학의 한 분야이다.

정보의 정량화를 수학적으로 푼 이론. 정보의 효율적 전송이나 저장에 응용

정보이론 더 보기

1. 위키피디아 

2. aistudy.com 

16. 카오스 이론 Chaos theory

혼돈이론이라고 부른다. 특정 비선형 동역학계가 특정 조건에서 혼돈이라는 현상을 보이는 경우를 연구한다. 

혼돈은 초기 조건이 조금만 달라져도 결과가 상당히 다르게 나오는 것을 의미한다. 나비효과butterfly effect로 잘 알려져 있다. 

 

17. 블랙 숄즈 방정식 Black-Scholes equations

주식시장의 파생상품의 옵션 가격을 예측하는 방정식. 5가지 인자로 이론적 가격을 계산

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2014. 06. 22 작성

1. http://goo.gl/NJnBVJ [본문으로]
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10. www.math.harvard.edu [본문으로]
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