미분방정식

1. 상수와 변수

1.1. 상수(constant)

고정된 값을 가지는 양. 

알파벳 앞부분 a, b, c, d 같은 문자들로 표시

1.2. 변수(variable)

여러가지 값들로 가정할 수 있는 수. 

알파벳 뒷부분 t, x, y, z 같은 문자들로 표시

1.2.1. 독립변수

값이 임의로 변할 수 있는 변수

1.2.2. 종속변수

변수의 값이 다른 변수들의 값에 종속되어 독립적으로 정의될 수 없는 변수

독립변수 x에 의존하는 종속변수 y는  y(x)로 표시한다. 

x만의 함수일 경우 y(x)를 y라고 간단하게 표시할 수 있다.

2. 도함수(derivate)

2.1. 증분

: x의 증분은 독립변수의 x의 (작은) 변화 

: x의 증분에 대응하는 함수 y의 변화  

2.2. 도함수

함수 y(x)의 도함수(derivate)는 그 점에서 함수 곡선의 접선 기울기와 같다.

독립변수 에 대한  증분 비로 나타낼 수 있다. 

2.2.1. 차수(order)

함수 y의 1번째 도함수(y')의 도함수는 y의 2차 도함수라고 한다.

함수 y의 (n-1)번째 도함수의 도함수는 y의 n차 도함수라고 한다.

 

여기서, n이 도함수의 차수(order)라고 한다. 

계수(階數)라고 불리기도 한다. 

참고. 계수

계수(係數)는 어느 변수에 일정하게 곱해진 상수 인자이다. 3x²+2x+7에서 3, 2, 7 따위이다. 차수와 혼동하지 않도록 한다.

3. 미분 방정식(微分方程式, differential equation) 

미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식이다. 

미분 방정식의 차수는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

미분방정식은 상미분방정식, 편미분방정식으로 구분된다.

3.1. 상미분 방정식(常微分方程式, ordinary differential equation, ODE)

상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 

3.2. 편미분방정식(偏微分方程式, partial differential equation)

미지 함수의 둘 이상의 독립 변수를 가진 미분 방정식

참고. 계차방정식(階差方程式, difference equation)

함수 y＝f(x)에서 x가 Δx만큼 증가할 때, Δy(x)를 y의 계차라고 하는데, 이 계차의 계차를 제2계차라고 할 때, 

최고차 항이 제n계차인 방정식을 n계 계차방정식이라고한다. 

4. 선형과 비선형

종속변수와 이의 모든 도함수가 1차 이고, 그들의 계수가 오직 독립변수에만 종속되어 있다면 선형(linear)이라고 한다.

5. 동차와 비동차

위와 같은 n계의 선형미분방정식에서 

R(x) = 0 이면, y에 대한 미분방정식은 동차(homogeneous 혹은 제차)이고

그렇지 않으면, y에 대한 미분방정식은 비동차(non-homogeneous 혹은 비제차)이다.

2014. 04. 11 작성

2014. 04. 28 수정