라그랑주(Lagrangian) 오일러(Eulerian) 기술

운동학적 기술법(kinematic description)

임의 물체의 거동을 공간상에서 표현하기 위해 기준이 되는 좌표를 설정하는 것을 말하며,  

라그랑지 기술법과 오일러 기술법(Euler description)이 있다. 

1. 라그랑주 기술(Lagrange description)

입자 하나하나에 초점을 맞추어 각각 입자을 따라가면서 그 입자의 물리량(위치, 속도, 가속도)를 나타내는 기술법.  

각 입자의  시발점을 x0, y0, z0이라 두고

위치 s(x0, y0, z0, t), 속도 V(x0, y0, z0, t), 가속도 a(x0, y0, z0, t)로 나타낸다. 

^[각주:1]

예를 들어, 진동하고 있는 구조물의 동적 변위(dynamic displacement)는 구조물 내 각 지점이 시간에 따라 얼마나 이동하고 있는가를 나타내는 것으로 전자의 기술법으로 표현된다. 하지만, 공기나 물의 흐름에 있어서 유속(flow velocity)이나 압력(pressure)은 공간 상의 각 지점에서의 값을 나타내는 것으로 후자에 의한 기술법으로 표현된다. 

유한요소 해석(finite element analysis)과 같은 수치해석(numerical analysis)에서 구조물의 강도나 진동해석을 위해 구조물 자체에 요소망을 생성하는 것은 라그랑지 기술법을 채택한다는 의미이고, 유체나 열해석을 위해서 물체 그 자체보다는 물체가 차지하고 있거나 물체로 둘러싸인 공간에 요소망을 생성하는 것은 오일러 기술법을 채택하겠다는 의미이다. 유체-구조 연계해석(fluid-structure coupled analysis)과 같은 연성해석에서는 두 매질의 특성에 따라 서로 다른 운동학적 기술법을 채용하기도 한다.

2. 오일러 기술(Euler description)

입자를 따라가는 라그랑지 기술법과 다르게, 

공간상에서 고정되어 있는 각 지점을 통과하는 물체의 물리량(속도 변화율)을 표현하는 방법이다. 

오일러 기술에서는 속도와 같은 유동 특성은 공간과 시간의 함수이며, 직교좌표계에서 V=V(x,y,z,t)로 표현되고 관찰하고자 하는 유동 영역을 유동장(flow filed) 이라고 부른다.

공기나 물의 흐름에 있어서 주된 관심사는 그 속도나 온도, 압력, 밀도의 변화이고, 물체 내 열의 전달에서는 온도의 변화에 관심을 가지게 된다. 이러한 물리량은 시간뿐만 아니라 공간 상의 위치에 따라서도 변하게 되는데, 시간에 따른 변화 정도를 시간이력(time history)으로 그리고 공간에 따른 변화를 해당 물리량의 분포라고 부른다. 

그런데 이렇게 흐름에 수반된 물리량은 공간상에서 고정된 각 지점에서 측정한 값으로 나타내는 것이 편리하다. 물론 계속해서 움직이는 공기나 물의 입자를 따라 물리량을 측정하여 표현할 수도 있지만 표현하는 방법이 어려울뿐더러 이렇게 표현된 물리량은 이해하기가 쉽지 않다. 

물체나 매질의 흐름에 따른 물리량을 공간 상에 고정된 각 위치를 기준으로 표현하는 방법을 오일러 기술법, 그리고 물체 내 각 입자를 따라 표현하는 방법을 라그랑지 기술법(Lagrange description)이라고 정의하고 있다. 후자는 구조물과 같은 고체의 변형에 따른 변형률(strain)이나 응력(stress) 등을 표현하는데 주로 사용되는 반면, 전자는 유체 유동, 열유동(thermal flow), 전자기력과 같이 공간 상의 흐름과 연관된 물리량을 표현하는데 주로 사용된다. 

^[각주:2]

쉽게 예를 들어보면,

알파인 스키를 살펴보자. 

알파인 스키는 스키를 타고 깃대 사이(관문)를 빠른 시간내 통과해야 하는 스포츠이다. 

스키 타는 선수가 있고

지점마다 깃대가 있다.

^[각주:3]

^[각주:4]

선수 개인의 움직임을 관점으로 바라보는 것이 라그랑주 기법이고

깃대의 관점으로 선수들이 통과하는 것을 바라보는 것이 오일러 기법이라고 이해하면 쉬울 듯 하다.

다른 예로 톨게이트를 생각해보자

^[각주:5]

관찰자가 차량의 속도와 가속도를 구하기 위해서는 라그랑주 기법으로

관찰자가 톨게이트에서 교통량 등을 구하기 위해서는 오일러 기법으로 한다고 생각하면 편할 듯 하다.

 

3. 레이놀즈 수송정리(RTT, Reynolds Transport Theorem)

계(system)은 입자들이 고정된 집합이고,

검사체적(control volume)은 공간상에 한정되어 있는 영역을 말한다. 

예를 들어, 

계(system)은 흐르는 물에 그물을 펼쳐놓는다고 생각하자. 그러하면 유체의 운동에 따라 계의 형태는 달라진다.

검사체적(control volume)은 레이저포인트로 물 위에 그린 것이라고 생각하자. 그러면 유체의 운동과 상관없이 일정한 검사체적의 형태를 가지게 된다. 

따라서,

계(system)는 라그랑주 기술로 표시하고

검사체적(control volume)은 오일러 기술로 표시하게 된다.

계(system)에서 검사체적(Control Volume)으로 변환을 할 수 있다.

이 방법이 레이놀즈 수송정리(RTT, Reynolds Transport Theorem)의 개념이다. 

^[각주:6]

직각좌표계에서 다음과 표현되는 물질도함수(material derivative)혹은 실질도함수(substantial derivative)는 라그랑주 기술법과 오일러 기술법 사이의 관계를 나타낸다.

라그랑주 기술은 시간만 독립변수, 위치는 종속변수 

오일러 기술은 시간과 위치 모두 독립변수이다. 

2014. 05. 22 작성

2014. 06. 03 레이놀즈 수송정리 추가

2014. 07. 13 물질도함수 언급

1. http://goo.gl/Qelrk9 [본문으로]
2. http://goo.gl/784KLE [본문으로]
3. http://goo.gl/WBKeXz [본문으로]
4. http://goo.gl/IFx0yV [본문으로]
5. http://goo.gl/5IhmX8 [본문으로]
6. Fluid mechanics, cengel [본문으로]